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研究生：	林宇軒 Lin, Yu-Hsuan
論文名稱：	結合超越機率準則之小樣本厚尾適應型無母數管制圖 A Heavy-Tail-Adaptive Distribution-Free Control Chart Incorporating Exceedance Probability Criteria for Small Samples
指導教授：	李俊毅 Lee, Chung-I
學位類別：	碩士 Master
系所名稱：	管理學院 - 統計學系 Department of Statistics
論文出版年：	2026
畢業學年度：	114
語文別：	中文
論文頁數：	145
中文關鍵詞：	超越機率準則、厚尾分布、尾指數、無母數管制圖、小樣本
外文關鍵詞：	exceedance probability criterion, heavy-tailed distribution, tail index, nonparametric control chart, small sample
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本文探討小樣本情境下結合超越機率準則（exceedance probability criterion, EPC）之無母數管制界限建構問題。原先方法以分數次序統計量與 Hutson（2002）對數型尾端外插為基礎，雖可於有限樣本下建立 EPC 管制界限，但當資料呈現厚尾特性時，常無法充分反映尾端行為，進而影響達成涵蓋率與管制界限之穩定性。因此，本文以 Parzen（1979）所提出之尾指數觀點為理論基礎，發展一套可依尾端厚度及訊息調整尾端外插方法並進一步納入一般化點繪位置參數，以提升小樣本下 EPC 管制界限之涵蓋率表現與實作彈性。

本文由密度分位函數之尾端模型建立左右尾尾指數之估計方式，並據以推導對應之廣義外插分位數公式。後續透過四種厚尾分布進行分析，比較本文方法與原有對數型尾端外插法於不同樣本數設定下之達成涵蓋率表現。模擬結果顯示，相較於 Hutson（2002）對數型外插，廣義外插法在四種厚尾分布下整體皆可提高達成涵蓋率，其中 Cauchy、Pareto(1) 與 Tukey(-0.5) 分布下改善幅度較為明顯，達成涵蓋率約可提升數個百分點至近二成；而在 t(4) 分布下，由於其尾端型態相對接近對數型外插所對應之情形，兩者表現較為接近。此外，為進一步處理小樣本下達成涵蓋率仍可能低於預設 EPC 下名目涵蓋率之問題，本文引入一般化點繪調整並引入事前設定之名目涵蓋率與樣本數建立自適應之選取規則，透過適當之點繪調整，可使達成涵蓋率達到所設定之名目涵蓋率。最後，本文亦將所提方法應用於半導體製程資料，建構符合 EPC 概念之無母數管制界限。模擬研究結果顯示，本文方法所得之上管制界限較能反映厚尾資料之尾端風險，並有助於降低既有方法可能產生之過度誤警。整體而言，本文提出之方法可作為小樣本厚尾情境下無母數管制圖建構之一種可行改良方向，除具理論意義外，亦可提升實務製程監控之穩定性與應用價值。

This study investigates the construction of nonparametric control limits under the exceedance probability criterion (EPC) for small samples. Existing methods based on fractional order statistics and Hutson's logarithmic tail extrapolation may perform poorly when the underlying distribution is heavy-tailed. To address this issue, we develop a heavy-tail-adaptive extrapolation method based on Parzen's tail index and further incorporate a generalized plotting-position parameter β to improve coverage performance and practical flexibility.

Simulation results show that the proposed method generally achieves better attained coverage than the existing logarithmic extrapolation approach under heavy-tailed distributions. In the semiconductor manufacturing application, the proposed method yields upper control limits that better reflect tail risk and may reduce excessive false alarms. Overall, the proposed procedure provides a practical improvement for EPC-based nonparametric control chart construction in small-sample heavy-tail settings.

中文摘要 i
Abstract ii
誌謝 vi
目錄 vii
表目錄 x
圖目錄 xi
1 緒論 1
1.1 研究背景與動機 1
1.2 研究目的 2
2 文獻回顧 4
2.1 EPC 之統計架構 5
2.2 單邊分位數信賴界限 7
2.3 分數次序統計法 8
2.4 Hutson 分位數估計 10
2.5 EPC 下之分數次序統計界限建構 14
2.6 本研究之改良方向 14
2.6.1 Parzen 尾端模型 15
2.6.2 Cheng（1995）之分位數密度估計量一致性結果 19
2.6.3 本方法之適用分布類別：尾端單調條件 20
3 統計方法 27
3.1 模型與符號 27
3.2 方法概述 28
3.3 尾指數之理論基礎與估計建構 29
3.3.1 尾端型態表示式 29
3.3.2 尾指數估計量之建構 30
3.4 外插分位數公式推導 35
3.5 外插估計之漸近性質 40
3.5.1 尾指數估計量之一致性 41
3.5.2 右尾外插分位數估計式之一致性 49
3.6 一般化端點校正 54
3.6.1 一般化端點與端點量 54
3.6.2 納入 β 的兩側外插公式 57
4 模擬分析 65
4.1 評估指標 65
4.2 模擬分布設定 67
4.3 帶寬選取 68
4.4 模型與尾端比例設定 69
4.4.1 緩變函數模型 69
4.4.2 尾端比例設定 75
4.5 模擬結果分析 76
4.5.1 尾端模型之選擇 76
4.5.2 尾端比例之選擇 80
4.5.3 與 Hutson 對數型外插之比較 83
4.6 一般化端點 β 之調整 85
4.7 EPC 管制界限之整體建構流程 88
4.8 實例研究 91
4.8.1 管制界限之比較 92
5 結論與未來展望 96
5.1 研究結論 96
5.2 未來研究方向 98
參考文獻 100
附錄A Cheng（1995）核函數條件與 Staudte 分位數密度估計量之驗證 102
A.1 Cheng（1995）之核函數與測度條件 102
A.2 Staudte 分位數密度估計量滿足 Cheng（1995）條件之驗證 103
附錄B 左尾外插分位數公式推導 108
附錄C 左尾一般化端點外插公式之推導 111
附錄D Student’s t 分布尾指數之計算 113
附錄E 各分布之密度分位函數與左右尾緩變函數整理 116
附錄F 厚尾分布尾端比例模擬結果補充表 119
Pareto（a = 1）分布尾端比例之補充比較 121
附錄G β 調整機制之補充模擬結果 122
附錄H 實例研究候選尾端之診斷與驗證結果 125
H.1 尾端模型假設之診斷 125
H.2 尾端單調性之診斷 127
H.3 局部變化有界性之診斷 130
H.4 整體通過三項診斷條件之候選尾端 130
                                    

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