二次剩餘碼是一種特殊的循環碼,　首先定義出它的人是Andrew　Gleason,　對於編碼的長度而言,　許多適當的二次剩餘碼有著極高的(high)最小非零量(minimum weights),　這也使得這類的碼前景看好,　佈於整數模 的二次剩餘碼在Bonnecaze,　Solé　以及　Calderbank [Bo-So-Ca]　和　Pless　以及　Qian　[Pl-Qi]　等人的研究之下,　發現出許多漂亮的結果,　在[Chiu-Yu-Yau]一文中,　作者對於整數模八的二次剩餘碼做了一些詳細的研究,　而在這篇論文中,　吾人利用類似[Chiu-Yu-Yau]的手法,　找出了整數模六十四的二次剩餘碼的生成元(idempotent),　進而生成出佈於整數模六十四的二次剩餘碼, 並證明出這些碼類似於佈於體上的碼,　都有著許多好的特性,　在[Ka]一文中,　Kanwar已對於整數模q^m且長度為p的二次剩餘碼得出了一般性的結果,　此處的p是一不為2的質數並在模p下為+1或-1,　而Kanwar也引進了擴充二次剩餘碼的觀念並找出了它的對偶碼,　本篇論文的另一目標是證明出整數模六十四的擴充二次剩餘碼有著大量的同構群,　藉由[Ma-Sl]中所用的有效力的排列解碼方法,　使得這些同構群對於解出這些二次剩餘碼有著極高的效力.

A　set　of　n　tuples　over　Z64　is　called　a code　over　Z64　or　a　Z64　code　if　it　is　a　Z64　module.　A　particularly　interesting
family　of　cyclic　codes　is　the　quadratic residue　codes.　Quadratic　residue　codes　were first　defined　by　Andrew　Gleason.　The minimum　weights　of　many　modest　quadratic　codes are　quite　high　for　the　codes　lengthes,　making　this　class　of　codes　promising.　The Zq^m- quadratic　residue　codes　were　studied　by beautiful　works　of　Bonnecaze,　Solé　and　Calderbank　[Bo-So-Ca]　and　Pless　and　Qian [Pl-Qi]　.　In　[Chiu-Yu-Yau]　,　the　authors studied　the　Z8　quadratic　residue　codes　in　some　detail.　In　this paper,　we define　Z64 quadratic　residue　codes　in　terms　of　their　idempotent　generators　and　show　that　these codes　also　have　many　good　properties　which are　analogous　in　many　respects　to　the properties　of　quadratic　residue　codes　over a　field.　In [Ka],　Kanwar　has　general　results　on　quadratic　residue　Zq^m-codes　of　length　p　where　p　is　an　odd　prime　congruent　to 1　or　-1 modulo　4q　.　The　concepts　of　extended　quadratic　residue　Zq^m-codes　is　introduced　in　[Ka]　and their　duals　are　obtained.　The　purpose　of this　paper　is　to　show　that　extended quadratic　residue　codes　over　Z64　have　large automorphism　groups　which　will　be　useful　in　decoding　these　codes　by　using　the powerful　permutation　decoding　methods　described　in　[Ma-Sl].

[Bo-So-Ca]:A.　Bonnecaze,　P.　Solé　and　A.R.　Calderbank,Quaternary
Quadratic　Residue　Codes　and　Unimodular　Lattices,　IEEE　Trans.　Inform. Theory,　41(1995),　366-377.
[Di]:L.E.　Dickson,　Linear　Groups,　Dover　Publications,　Inc.　NY,　1958.
[Ka-Lp]:P.　Kanwar　and　S.　López-Permouth,　Cyclic　codes　over　the integers　modulo　q^m　,　Finite　Fields　and　Their　Applications,　3(1997),　334-352.
[Ka]:P.　Kanwar,　Quadratic　Residue　Code　over　Integer　Module　q^m,　Contemporary　Mathematics,　259(2000),　299-312.
[Le-Ma-Pl]:J.S.　Leon,　J.M.　Masley,　and V.　Pless,　Duadic　Codes,　IEEE Trans.　Inform.　Theory,　30(1994),　709-714.
[Ma-Sl]:F.J.　MacWilliams　and N.J.A.　Sloane,　Theory　of　Error-Correcting Codes,　North　Holland,　Amsterdam,　1978.
[Pl]:V.　Pless,　Introduction　to　the　Theory　of　Error-Correcting　Codes, Second Edition,　Wiley　Interscience,　1989.
[Pl-Qi]:V.　Pless　and　Z.　Qian,　Cyclic　Codes　and　Quadratic　Residue　Codes　over　Z4　,　IEEE　Transactions　on　Information　Theory,　42,　No.5(1996),　1594-1600.
[Pe]:O.　Perron,　Bemerkungen　über　die　Verteilung　der　quadratischen Reste,　Math.　Zeit.,　56(1952),　122-130.
[Chiu-Yu-Yau]:
Mei　Hui　Chiu,　Yung　Yu,　Stephen　S.-T.　Yau, 　Cyclic　Codes　and Quadratic　Residue Codes,　Advances　in　Applied　Mathematics　25,　12-33(2000).
[許琮琳]:佈於整數模拾陸的二次剩餘碼,國立成功大學應數所碩士論文,　June　1999.
[郭威良]:佈於整數模三十二的二次剩餘碼,國立成功大學應數所碩士論文,　June　2003.