一個連通拓樸空間　$X$　的全覆蓋(　universal　cover　)是指對於一個單連通空間　$Y$　，伴隨著一個覆蓋映射　$f:Y o　X$　。只要　$X$　是局部有被定義的，它的任何局部性質就可以被提升至其全覆蓋上。

一致性定理(　The　Uniformization　Theorem　)告訴我們，對於一個黎曼曲面(　Riemann　surface　)　$cal　S$　，其唯一有可能的全覆蓋為上半平面　$HH$　，複數平面　$CC$　或者是黎曼球面　$CCcup{infty}$　。對於一個虧格數　$g　geq　2$　的緊緻黎曼面而言，它的全覆蓋僅能為上半平面　$HH$　。因此，黎曼面是一個雙曲平面(　hyperbolic　plane　)，也就是一個上半平面　$HH$　，對於一個梅比斯(　M"obius　)變換的離散(　discrete　)子群的商。上半平面　$HH$　同時可以等價的被視為在單位(　龐加萊　)圓盤　$DD$　上的雙曲幾何模型。

當一個黎曼面是一個雙曲平面對於一個富克斯群(　Fuchsian　group　)，也就是梅比斯變換的離散子群的商時，其雙曲距(　hyperbolic　metric　)就可以投射到這個黎曼面上的雙曲距。因此，我們研究黎曼面上的幾何學，就可以透過這樣的一個距以及去研究富克斯群作用在這個雙曲平面上的幾何學。

Abstract
The　universal　cover　of　a　connected　topological　space　X　is　a　simply　connected
space　Y　with　a　map　f　:　Y　!　X　that　is　a　covering　map.　Any　local
property　of　X　can　be　lifted　to　its　universal　cover,　as　long　as　it　is　defined　locally.
By　the　Uniformization　Theorem,　the　only　possible　universal　covers
for　a　Riemann　surface　S　are　the　upper　half-plane　H,　the　complex　plane　C,
or　the　Riemann　sphere　C　[　{1}.　Universal　covers　of　the　compact　Riemann
surfaces　with　genuses　g　_　2　are　the　upper　half-plane　H　which　can　be　equivalently
regarded　as　the　unit　(　Poincar´e　)　disk　D.　Hence　Riemann　surfaces　are
quotients　of　the　hyperbolic　plane　by　a　discrete　subgroup　of　Mobius　transformations.
As　a　Riemann　surface　is　the　quotient　of　the　hyperbolic　plane　by　a
Fuchsian　group,　the　hyperbolic　metric　projects　to　the　hyperbolic　metric　on
the　Riemann　surface.　So　we　can　study　the　geometry　of　the　Riemann　surfaces
in　terms　of　this　metric　and　by　studying　the　geometry　of　the　action　of
the　Fuchsian　group　on　the　hyperbolic　plane.　The　main　subjects　in　this　thesis
are　hyperbolic　geometry　and　discrete　subgroups　of　orientation-preserving
isometries　of　H.

[B1]　Beardon,　A.　F.,　The　geometry　of　discrete　groups,　Graduate　Texts　in　Mathematics　91,　Springer-Verlag,　New　York　Inc.,　1983.
[B2]　Beardon,　A.　F.,　A　Primer　on　Riemann　Surfaces,　London　Mathematics　Society　Lecture　Note　Series　78,　Cambridge　University　Press,　1984.
[BCM]　Bujalance,　E.,　Costa,　A.　F.　and　Martinez,　E.　Topics　on　Riemann　Surfaces　and　Fuchsian　Groups,　London　Mathematics　Society　Lecture　Note　Series　287,　Cambridge　University　Press,　2001.
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Mathematics,　Universitext,　Springer-Verlag,　Berlin　Heidelberg,　Second　edition,　2002.
[K1]　Katok,　S.,　Fuchsian　Groups,　The　University　of　Chicago　Press,　1992.
[R1]　Ratcliffe,　J.　G.,　Foundations　of　Hyperbolic　Manifolds,　Graduate　Texts　in　Mathematics　149,　Springer-Verlag,　New　York,　Inc.,　1994.　61