二次剩餘碼是由Andrew　Gleason所定義出來的，這是一種很特殊的循環碼，而佈於整數模q^m的二次剩餘碼在Bonnecaze,　Solé　以及　Calderbank　[Bo-So-Ca]　與　Pless　以及　Qian　[Pl-Qi]等人的研究下，得到許多良好的性質，在[Chiu-Yu-Yau]的文章中，對於整數模八的二次剩餘碼有詳細的介紹，在本文中，我們推廣到整數模一百二十八的二次剩餘碼，先找出整數模一百二十八的生成元(idempotent)，進而生成出整數模一百二十八的二次剩餘碼，接著證明這跟佈於體一樣有許多良好的性質，在[Ka]文章中，Kanwar對於整數模q^m且長度為p的二次剩餘碼找出一般性的結果，這個地方的p是個不為2的質數，而在模4q的情況下，等於+1或 1，此外Kanwar也擴充了二次剩餘碼的概念，並且找到它的對偶碼，我們可以證明出整數模一百二十八的擴充二次剩餘碼有很多的同構群，藉由[Ma-Sl]所使用的排列解碼方法。

A　set　of　n-tuples　over　Z128　is　called　a　code　over　Z128　or　a　Z128　code　if　it　is　a　Z128　module.　A　particularly　interesting　family　of　cyclic　codes　is　the　quadratic　residue　codes.　Quadratic　residue　codes　were　first　defined　by　Andrew　Gleason.　The　Z(q^m)　quadratic　residue　codes　were　studied　by　beautiful　works　of　Bonnecaze,　Solé　and　Calderbank　[Bo-So-Ca]　and　Pless　and　Qian　[Pl-Qi]　.　In　[Chiu-Yu-Yau]　,　the　authors　studied　the　Z8　quadratic　residue　codes　in　some　detail.　In　this　paper,　we　define　Z128　quadratic　residue　codes　in　terms　of　their　idempotent　generators　and　show　that　these　codes　also　have　many　good　properties　which　are　analogous　in　many　respects　to　the　properties　of　quadratic　residue　codes　over　a　field.　In　[Ka],　Kanwar　has　general　results　on　quadratic　residue　Z(q^m)-codes　of　length　p　where　p　is　an　odd　prime　congruent　to　 　modulo　4q.　The　concepts　of　extended　quadratic　residue　Z(q^m)-codes　is　introduced　in　[Ka]　and　their　duals　are　obtained.　The　purpose　of　this　paper　is　to　show　that　extended　quadratic　residue　codes　over　Z128　have　large　automorphism　groups　which　will　be　useful　in　decoding　these　codes　by　using　the　powerful　permutation　decoding　methods　described　in　[Ma-Sl].　

[Bo-So-Ca]:　　A.　Bonnecaze,　P.　Solé　and　A.R.　Calderbank,　Quaternary　Quadratic　Residue　Codes　and　Unimodular　Lattices,　IEEE　Trans.　Inform.　Theory,　41(1995),　366-377.
[Di]　　　L.E.　Dickson,　Linear　Groups,　Dover　Publications,　Inc. NY,1958.
[Ka-Lp]　　P.　Kanwar　and　S.　López-Permouth,　Cyclic　codes　over　the　integers　modulo　p^m,　Finite　Fields　and　Their　Applications,　3(1997),　334-352.
[Le-Ma-Pl]　　J.S.　Leon,　J.M.　Masley,　and　V.　Pless,　Duadic　Codes,　IEEE　Trans. Inform.　Theory,　30(1994),　709-714.
[Ma-Sl]　　F.J.　MacWilliams　and　N.J.A.　Sloane,　Theory　of　Error-Correcting　Codes,　North　Holland,　Amsterdam,　1978.
[Pl]　　　V.　Pless,　Introduction　to　the　Theory　of　Error-　Correcting　Codes,　Second　Edition,　Wiley　Interscience,　1989.
[Pl-Qi]　　V.　Pless　and　Z.　Qian,　Cyclic　Codes　and　Quadratic　Residue　Codes　over　Z4,　IEEE　Transactions　on　Information　Theory,　42,　No.5(1996),　1594-1600.
[Pe] O.　Perron,　Bemerkungen　über　die　Verteilung　der　quadratischen　Reste,　Math.　Zeit.,　56(1952),　122-130.
[Chiu-Yu-Yau]　Mei　Hui　Chiu,　Yung　Yu,　Stephen　S.-T.　Yau,　Z8-Cyclic　Codes　and　Quadratic　Residue　Codes,　Advancesin　Applied　Mathematics　25,　12-33(2000).
[許琮琳]　　佈於整數模拾陸的二次剩餘碼，國立成功大學應數所碩士論文，June　1999。
[郭威良]　　佈於整數模三十二的二次剩餘碼，國立成功大學應數所碩士論文，June　2003。